Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax+b在區(qū)間在x=2處取得極值-8
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）當x∈[-3，3]時，求y=f（x）的最值域．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令f′（2）=0，f（2）=-8，列出方程組，求出a，b的值得到函數(shù)的解析式．
（2）將求出的a，b值代入導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0 得到x的范圍為單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）由（2），求出函數(shù)的兩個極值及端點值，比較出最大值 與最小值，求出值域．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-a
f（x）=x³-ax+b在區(qū)間在x=2處取得極值-8
∴

f′(2)=0 f(2)=-8

即

12-a=0 8-2a+b=-8

解得a=12，b=8
所以f（x）=x³-12x+8
（2）由（1）f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；令f′（x）＜0得-2＜x＜2
所以y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）和（-∞，-2）；遞減區(qū)間有（-2，2）．
（3）由（2）得x=-2是極大值點，x=2是極小值點，且f（-2）=24，f（2）=-8，f（-3）=17，f（3）=-1
所以函數(shù)的值域為[-8，24]．

點評：函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0；導(dǎo)函數(shù)大于0的x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．