Question

已知A、B分別是x軸和y軸上的兩個動點，滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且

AP

=t

PB

（t是不為0的常數(shù)），設點P的軌跡方程為C．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，試求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）若t=2，點M、N是C上關于原點對稱的兩個動點，點Q的坐標為(

3

2

，3)，求△QMN的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點A（a，0），B（0，b），C（x，y），由題意知

x-a=-tx y=t(b-y).

所以

a=(1+t)x b= 1+t t y

．再由|AB|=2，能夠推出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）由題意知，

4

(1+t)2

＞

4t2

(1+t)2

，解可得答案；
（Ⅲ）當t=2時，曲線C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1，設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則|MN|=2

x12+y12

．設直線MN的方程為y=

y1

x1

x，所以點Q到直線MN的距離h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，由此可求出△QMN的面積S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設點A（a，0），B（0，b），C（x，y），
∵

AP

=t

PB

，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即

x-a=-tx y=t(b-y).

（2分）
則

a=(1+t)x b= 1+t t y

．
又∵|AB|=2，即a²+b²=4．
∴

(1+t)2x2

4

+

(1+t)2y2

4t2

=1．
∴點P的軌跡方程C：

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1．（5分）
（Ⅱ）∵曲線C為焦點在x軸上的橢圓，
∴

4

(1+t)2

＞

4t2

(1+t)2

，得t²＜1．
又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）
（Ⅲ）當t=2時，曲線C的方程為

9x2

4

+

9y2

16

=1．（9分）
設M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則|MN|=2

x12+y12

．
當x₁≠0時，設直線MN的方程為y=

y1

x1

x，
則點Q到直線MN的距離h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，
∴△QMN的面積S=

1

2

•2

x12+y12

•

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）
∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．
又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，
∴9x12+

9

4

y12=4．
∴S²=4-9x₁y₁．
而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2•

3x1

2

•

3y1

4

=-

9x1y1

4

，
則-9x₁y₁≤4．即S2≤8，S≤2

2

．
當且僅當

3x1

2

=-

3y1

4

時，
即x1=-

1

2

y1時，“=”成立．
當x₁=0時，|MN|=2•

4

3

=

8

3

，
∴△QMN的面積S=

1

2

•

8

3

•

3

2

=2．
∴S有最大值2

2

．（14分）

點評：本題考查直線的圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．