Question

已知點M（x，y）與兩個定點O （0，0），A （3，0）的距離之比為

1

2

．
（1）求點M軌跡C的方程；
（2）在平面內是否存在異于點A的定點Q（a，b），使得對于軌跡C上任一點P，都有

|PQ|

|PA|

為一常數(shù)．若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出M的坐標，利用已知條件距離之比，即可求點M軌跡C的方程；
（2）設存在定點Q（a，b），判斷定點的位置在x軸上，通過

|PQ|

|PA|

為一常數(shù)．設為k，P在圓上，列出方程，推出方程組，求出a，b的值，然后求出比值．

解答：解：（1）由題意點M（x，y）與兩個定點O （0，0），A （3，0）的距離之比為

1

2

得

x2+y2

=

1

2

(x-3)2+y2

，
化簡得點M的軌跡方程（x+1）²+y²=4
（2）由題意可知，若存在定點，必在x軸上，設為（a，0），
由條件可得：

(x-a)2+(y-b)2

(x-3)2+y2

=k，
又點P在圓（x+1）²+y²=4上，
整理得（8k²-2-2a）x-2by+a²+b²+3-12k²=0，
因為與x，y無關，故可得

8k2-2-2a=0 2b=0 a2+b2+3-12k2=0

，
解得a=0或3（舍），
∴存在定點Q（0，0）滿足條件，此時定值k=

1

2

．

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系，存在性問題的應用，考查轉化思想以及計算能力．