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16.已知向量a=(3cosωx,1),\overrightarrow=(sinωx,cos2ωx-12)(ω>0),函數(shù)f(x)=a,若函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸與它相鄰的一個(gè)對稱中心的距離為π4
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位,再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0π4]上的最大值和最小值.

分析 (1)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合二倍角、輔助角公式,根據(jù)函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為π4,即可求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)根據(jù)圖象的平移和正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)fx=3sinωxcosωx+cos2ωx12=32sin2ωx+cos2ωx+1212
由題意知f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω=π,所以ω=1,
所以f(x)=sin(2x+π6).
(2)將f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位后,得到y(tǒng)=sin[2(x-π4)+π4]=sin(2x-π3
的圖象,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,縱坐標(biāo)不變,得到y=sin4xπ3的圖象,
所以g(x)=sin(4x-π3),
因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{4}-\frac{π}{3}≤4x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}.由正弦函數(shù)的圖象得可知-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤g(x)≤1. 所以g(x)在區(qū)間[0,\frac{π}{4}]上最大值為1和最小值為-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ) 求橢圓C及其“伴隨”的方程;
(Ⅱ)斜率為1的直線m經(jīng)過拋物線x2=8y的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于M,N兩點(diǎn),求線段MN的長度;
(Ⅲ) 過點(diǎn)P(0,m)作“伴隨”的切線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{2}{5},求切線l的方程.

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同步練習(xí)冊答案
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