Question

已知f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）≥-1；
（2）若f（x）＜0對(duì)一切x∈R恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=3代入f（x），即可列出關(guān)于x的不等式，求解即可得到不等式f（x）≥-1的解集；
（2）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等關(guān)系，求解即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+2x-4，
∴f（x）≥-1，即x²+2x-4≥-1，即x²+2x-3≥0，
∴x≤-3或x≥1，
∴關(guān)于x的不等式f（x）≥-1的解集為{x|x≤-3或x≥1}；
（2）f（x）＜0對(duì)一切x∈R恒成立，即（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0對(duì)一切x∈R恒成立，
①當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，-4＜0對(duì)x∈R恒成立，
∴a=2滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)

a＜0 △=22(a-2)2-4×(-4)×(a-2)＜0

，解得-2＜a＜0．
綜合①②，可得-2＜a＜0或a=2，
故若f（x）＜0對(duì)一切x∈R恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-2，0）∪{2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，研究二次函數(shù)時(shí)，要抓住考口方向，對(duì)稱(chēng)軸以及判別式等．對(duì)于恒成立問(wèn)題解決的方法常有：參變量分離法，求最值法，數(shù)形結(jié)合法．屬于基礎(chǔ)題．