Question

從2003年開始，我國就通過實(shí)行高校自主招生探索人才選拔制度改革，允許部分高校拿出一定比例的招生名額，選拔哪些有特殊才能的學(xué)生．某學(xué)生參加一個高校的自主招生考試，考試分筆試和面試兩個環(huán)節(jié)，筆試有A，B兩個題目，該學(xué)生答對A，B兩題的概率分別為，兩題全部答對方可進(jìn)入面試．面試要回答甲、乙兩個問題，該學(xué)生答對兩個問題的概率均為，至少答對一題即可被錄�。�（假設(shè)每個環(huán)節(jié)的每個問題回答正確與否是相對獨(dú)立的）．
（I）求該學(xué)生被學(xué)校錄取的概率；?
（II）設(shè)該學(xué)生答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．?

Answer 1

解：（I）由題意記”答對A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，
則P（A）=，P（B）=，P（C）=P（D）=，
由題意及事件之間為獨(dú)立事件，故該學(xué)生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（）P（）]=××（1-× ）=；
（II）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（）=×=，
P（ξ=1）=P（B+A）=×+×=，
P（ξ=2）=P（AB）P（）=×××=，
P（ξ=3）=P（AB）P（C+D）=××2×=，
P（ξ=4）=P（AB）P（CD）=×××=，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=1
分析：（I）由題意記”答對A，B，甲，乙各題分別為事件A，B，C，D，由于事件之間為獨(dú)立事件，故該學(xué)生被公司聘用的概率為：P（A•B）[1-P（）P（）]，利用獨(dú)立事件的公式即可算得；
（II）由題意由于隨機(jī)變量ξ表示該學(xué)生答對題目的個數(shù)，由題意可得ξ的可能結(jié)果為：0，1，2，3，4，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件的概率公式借助于隨機(jī)變量的定義求出每一個隨機(jī)變量取值下對應(yīng)的概率．在列出隨機(jī)變量的分布列，并利用分布列求出其期望．
點(diǎn)評：本題考查概率知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是正確求概率，確定變量的取值．