Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1時(shí)取得極值，且f(1)=－1.

(1)試求常數(shù)a、b、c的值；

(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

(1) a= (2) 當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)=1,當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=－1. 

解析:

(1)f′(x)=3ax²+2bx+c

∵x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，

∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax²+2bx+c=0的兩根.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得                                               

又f(1)=－1,∴a+b+c=－1,                                ③

由①②③解得a=,

(2)f(x)=x³－x,

∴f′(x)=x²－=(x－1)(x+1)

當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′(x)＞0

當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0

∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù).

∴當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)=1,當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=－1.