Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2

3

sinωxcosωx+2cos2ωx-1(ω＞1)，且以2π為最小正周期．
（1）求f（x）的解析式，并求當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，f（x）的取值范圍；
（2）若f(x-

π

6

)=

6

5

，求cosx的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二倍角公式對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，再結(jié)合周期為2π即可求出f（x）的解析式；再結(jié)合自變量的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出f（x）的取值范圍；
（2）先根據(jù)已知條件求出sinx=

3

5

，再結(jié)合同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求出結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinωxcosωx+2cos2ωx-1=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)．…（2分）
∵T=2π，∴ω=

1

2

．
∴f(x)=2sin(x+

π

6

)．…（4分）
由

π

6

≤x≤

π

3

，得

π

3

≤x+

π

6

≤

π

2

，
于是

3

≤f（x）≤2．
即f （x）的取值范圍為[

3

，2]．   …（8分）
（2）∵f(x-

π

6

)=2sin(x-

π

6

+

π

6

)=

6

5

，
即sinx=

3

5

．…（10分）
∴cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換．解決這一類(lèi)型題目的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．