若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p<1 ），用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，  
（1）求方差D（ξ）的最大值；
（2）求的最大值。

解：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，
并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
從而 E（ξ）=0×（1-p）+1×p=p，
D（ξ）=（0-p）2×（1-p）+（1-p）2×p=p-p2，
（1）D（ξ）=p-p2=，
∵0<p<1，
∴當(dāng)時(shí)，D（ξ）取得最大值，最大值為。（2），
∵0<p<1，
∴，
當(dāng)時(shí)，取“=”，
因此，當(dāng)時(shí)，
取得最大值。
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    （本小題滿分12分）

    一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)形狀相同的小球，分別標(biāo)有不同的數(shù)字2，3，4，，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，并計(jì)算摸出的這2個(gè)球上的數(shù)字之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。記A事件為“數(shù)字之和為7”.試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表

    摸球總次數(shù)

    10

    20

    30

    60

    90

    120

    180

    240

    330

    450

    “和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)

    1

    9

    14

    24

    26

    37

    58

    82

    109

    150

    “和為7”出現(xiàn)的頻率

    0.10

    0.45

    0.47

    0.40

    0.29

    0.31

    0.32

    0.34

    0.33

    0.33

    （參考數(shù)據(jù)：）

    （Ⅰ）如果試驗(yàn)繼續(xù)下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近。試估計(jì)“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率，并求的值；

    （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)定一種游戲規(guī)則：每次摸2球，若數(shù)字和為7，則可獲得獎(jiǎng)金7元，否則需交5元。某人摸球3次，設(shè)其獲利金額為隨機(jī)變量元，求的數(shù)學(xué)期望和方差。

     

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