【題目】在平面直角坐標系中，已知中心在坐標原點，焦點在坐標軸上的橢圓的右焦點為，且離心率，過點且斜率為的直線交橢圓于點，兩點，為的中點，過作直線的垂線，直線與直線相交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）證明：點在一條定直線上；

（3）當最大時，求的面積.

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）由焦點坐標、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，進而得到中點的坐標，進而得到直線方程，與直線方程聯(lián)立后可求得點坐標，知點橫坐標為定值，從而得到結(jié)論；

（3）利用直線和的斜率可結(jié)合兩角和差正切公式表示出，利用基本不等式可求得的最大值，由取等條件可得此時的值和點坐標；利用弦長公式和點到直線距離公式分別求得三角形的底和高，進而得到所求面積.

（1）橢圓的右焦點為，.

又，，.

橢圓的標準方程為：.

（2）設(shè)，，中點，直線：，

聯(lián)立方程組，化簡得：，

，，

將代入直線的方程，得點的坐標為，

，直線的方程為.

直線過橢圓的右焦點且與直線垂直，直線的方程為.

解方程組得：，

點在定直線上.

（3）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為.

由（2）可知：，.

.

當且僅當，即時取最大值，此時最大.

此時直線方程為，點為.

由（2）可得：，，，

弦長，到直線的距離，

.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第條的相關(guān)規(guī)定：機動車行經(jīng)人行道時，應(yīng)當減速慢行；遇行人正在通過人行道，應(yīng)當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”《中華人民共和國道路交通安全法》第條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣分，罰款元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

月份

不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)

（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測該路口月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員人數(shù)；

（2）若從表中月份和月份的不“禮讓斑馬線”駕駛員中，采用分層抽樣方法抽取一個容量為的樣本，再從這人中任選人進行交規(guī)調(diào)查，求抽到的兩人恰好來自同一月份的概率.

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點E是的中點，點F在邊上移動.

（Ⅰ）若F為中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若二面角的余弦值等于，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別是，，，是其左右頂點，點是橢圓上任一點，且的周長為6，若面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點且斜率不為0的直線交橢圓于，兩個不同點，證明：直線與的交點在一條定直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，.

（1）求二面角的大小；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)拋擲兩枚骰子，記事件為“朝上的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件為“朝上的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有3個電子元件組成，各個電子元件能否正常工作的概率均為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統(tǒng)C中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為500元.

(1)求系統(tǒng)不需要維修的概率；

(2)該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)G組成，設(shè)E為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費用，求的分布列與期望;

(3)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問:滿足什么條件時，可以提高整個G系統(tǒng)的正常工作概率?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若，求曲線在處切線的斜率；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，且對任意，(s，k，l，)都有，則稱數(shù)列為“T”數(shù)列.

（1）證明：正項無窮等差數(shù)列是“T”數(shù)列；

（2）記正項等比數(shù)列的前n項之和為，若數(shù)列是“T”數(shù)列，求數(shù)列公比的取值范圍；

（3）若數(shù)列是“T”數(shù)列，且數(shù)列的前n項之和滿足，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

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