Question

（本小題滿分12分）已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂.試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）A={a|－1≤a≤1}（2）{m|m≥2，或m≤－2}.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立.       ①

設(shè)(x)=x²－ax－2，

①    

∵對(duì)x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f＇(-1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí)，f＇(1)=0,∴A={a|－1≤a≤1}.    

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實(shí)根，

∴   從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立.       ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

         g(－1)=m²－m－2≥0，

② 

g(1)=m²+m－2≥0，      n m≥2或m≤－2.

所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程，以及不等式的綜合

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用的單調(diào)性分離參數(shù)的思想得到參數(shù)a的范圍，同時(shí)利用不等式的恒成立來分析得到m的范圍，屬于中檔題。