Question

【題目】對于函數(shù)f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么稱h（x）為f1（x）、f2（x）的和諧函數(shù)．
（1）已知函數(shù)f1（x）=x﹣1，f2（x）=3x+1，h（x）=2x+2，試判斷h（x）是否為f1（x）、f2（x）的和諧函數(shù)？并說明理由；
（2）已知h（x）為函數(shù)f1（x）=log3x，f2（x）=log x的和諧函數(shù)，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+th（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）是f1（x）、f2（x）的和諧函數(shù)，因為存在a=﹣1，b=1

使h（x）=﹣f1（x）+f2（x）

設(shè)h（x）=af1（x）+bf2（x），則2x+2=a（x﹣1）+b（3x+1），

所以 ，

所以h（x）是f1（x）、f2（x）的和諧函數(shù)

（2）解：解法一：依題意，由方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，

化簡得：2+log3x+t（1+log3x）=0

設(shè)m=log3x，x∈[3，9]，則m∈[1，2]，即 （1+m）t+（t+2）=0

原問題可以轉(zhuǎn)化關(guān)于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，

令g（m）=（1+t）m+（t+2）

由題意得：g（1）g（2）≤0，解得 ．

綜上：

解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化簡得：2+log3x+t（1+log3x）=0

因為x∈[3，9]，所以（1+log3x）∈[2，3]，

原式可轉(zhuǎn)化為方程 在x∈[3，9]區(qū)間上有解

即求函數(shù) 在x∈[3，9]的值域

令 ，因為 2≤1+log3x≤3

由反比例函數(shù)性質(zhì)可得，函數(shù)g（x）的值域為

所以實數(shù)t的取值范圍

【解析】（1）h（x）是f1（x）、f2（x）的和諧函數(shù)，存在a=﹣1，b=1，設(shè)h（x）=af1（x）+bf2（x），利用新定義判斷即可．（2）解法一：方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，設(shè)m=log3x，x∈[3，9]，則m∈[1，2]，原問題可以轉(zhuǎn)化關(guān)于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通過g（1）g（2）≤0，求解即可．（2）解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化簡得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可轉(zhuǎn)化為方程 在x∈[3，9]區(qū)間上有解，即求函數(shù) 在x∈[3，9]的值域，通過分離常數(shù)法，求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識點，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題．