在四棱錐中，底面是矩形，已知，，，，。

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值的大小。（12分）

 

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】第一問中，利用線面垂直的判定定理求證。在中，由題設(shè)PA=2，AD=2，

PD=，可得，于是

在矩形ABCD中，，又

，從而得到結(jié)論。

第二問中，過點(diǎn)P作于H，過點(diǎn)H作于E，

連接PE，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912065081202867/SYS201207091207346088882093_DA.files/image010.png">平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影，，從而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角，然后借助于三角形求解得到。

解：（I）在中，由題設(shè)PA=2，AD=2，

     PD=，可得，

于是，……….2分，

在矩形ABCD中，，又….4分，

  所以平面PAB�！�.6分，

（II）如圖所示，過點(diǎn)P作于H，過點(diǎn)H作于E，

連接PE，……….7分，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912065081202867/SYS201207091207346088882093_DA.files/image010.png">平面PAB，平面PAB，所以，

又，因而平面ABCD，

故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影，，……….8分，

從而是二面角P-BD-A的平面角�！�.9分，

由題設(shè)可得，，

，……….10分，

由～得

，于是在中，

，….11分，

所以二面角P—BD—A 的正切值的大小為�！�.12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2009江西卷文）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009江西卷理）（本小題滿分12分）

在四棱錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：平面⊥平面；          

（2）求直線與平面所成的角的大�。�

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

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已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

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如圖，在四棱錐中，底面是矩形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面．

 

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（本小題滿分16分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面切于點(diǎn)．

（1）求證：PD⊥平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

 

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