Question

（2012•上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B(

1

2

，1)、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為

1

4

．

Answer 1

分析：先利用一次函數(shù)的解析式的求法，求得分段函數(shù)f（x）的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得函數(shù)y=xf（x）（0≤x≤1）的函數(shù)解析式，最后利用定積分的幾何意義和微積分基本定理計(jì)算所求面積即可

解答：解：依題意，當(dāng)0≤x≤

1

2

時(shí)，f（x）=2x，當(dāng)

1

2

＜x≤1時(shí)，f（x）=-2x+2
∴f（x）=

2x       x∈[0， 1 2 ] -2x+2  x∈( 1 2 ，1]

∴y=xf（x）=

2x 2      x∈[0， 1 2 ] -2x 2+2x  x∈( 1 2 ，1]

y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S=

∫

1 2 0

2x2dx+

∫

1 1 2

(- 2x2+2x) dx=

2

3

x³

|

1 2 0

+（-

2

3

x3+x²）

|

1 1 2

=

1

12

+

1

6

=

1

4

故答案為

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)解析式的求法，定積分的幾何意義，利用微積分基本定理和運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算定積分的方法，屬基礎(chǔ)題