【題目】函數(shù)的定義域為,且對任意,有,且當(dāng)時.
(1)證明:是奇函數(shù);
(2)證明:在上是減函數(shù);
(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3) 最大值是6,最小值是-6.
【解析】
(1)令x=y=0,則可得f(0)=0;y=﹣x,即可證明f(x)是奇函數(shù),
(2)設(shè)x1>x2,由已知可得f(x1﹣x2)<0,再利用f(x+y)=f(x)+f(y),及減函數(shù)的定義即可證明.
(3)由(2)的結(jié)論可知f(﹣3)、f(3)分別是函數(shù)y=f(x)在[﹣3、3]上的最大值與最小值,故求出f(﹣3)與f(3)就可得所求值域.
(1)因為的定義域為,且,
令得,所以;
令,則,所以,
從而有,所以,所以是奇函數(shù).
(2)任取,且,
則
,
因為,所以,所以,所以,
所以,從而在上是減函數(shù).
(3)由于在上是減函數(shù),
故在區(qū)間上的最大值是,最小值是,
由于,所以
,
由于為奇函數(shù)知, ,
從而在區(qū)間上的最大值是6,最小值是6.
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明的奇偶性;
(2)用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在其定義域上是增函數(shù);
(3)若,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),是奇函數(shù).
(1)求,的值;
(2)證明:是區(qū)間上的減函數(shù);
(3)若,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了了解某城市居民用水量情況,我們抽取了100位居民某年的月均用水量(單位:噸)并對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,得到該100位居民月均用水量的頻率分布表,并繪制了頻率分布直方圖(部分?jǐn)?shù)據(jù)隱藏).
(1)確定表中的與的值;
(2)在上述頻率分布直方圖中,求從左往右數(shù)第4個矩形的高度;
(3)在頻率分布直方圖中畫出頻率分布折線圖.
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【題目】已知,命題方程表示焦點在軸上的橢圓,命題方程表示雙曲線.
(1)若命題是真命題,求實數(shù)的范圍;
(2)若命題“或”為真命題,“且”是假命題,求實數(shù)的范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點;
(2)當(dāng)時,證明:在上恒成立.
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【題目】如圖,已知橢圓=1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若=2,·=,求橢圓的方程.
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【題目】某海產(chǎn)品經(jīng)銷商調(diào)查發(fā)現(xiàn),該海產(chǎn)品每售出噸可獲利萬元,每積壓噸則虧損萬元.根據(jù)往年的數(shù)據(jù),得到年需求量的頻率分布直方圖如圖所示,將頻率視為概率.
(1)請補(bǔ)齊上的頻率分布直方圖,并依據(jù)該圖估計年需求量的平均數(shù);
(2)今年該經(jīng)銷商欲進(jìn)貨噸,以(單位:噸, )表示今年的年需求量,以(單位:萬元)表示今年銷售的利潤,試將表示為的函數(shù)解析式;并求今年的年利潤不少于萬元的概率.
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