Question

【題目】已知和定點(diǎn)，由外一點(diǎn)向引切線(xiàn)，切點(diǎn)為，且滿(mǎn)足.（1）求實(shí)數(shù)間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；

（2）求線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值；

（3）若以為圓心所作的與有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）.

【解析】試題分析：（1）連，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)可得實(shí)數(shù)間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；（2）由于，根據(jù)間的等量關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值；（3）解法一：設(shè)的半徑為，根據(jù)題設(shè)條件可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，此時(shí)，求得， 取得最小值，從而得到圓的方程；解法二：根據(jù)的軌跡設(shè)出直線(xiàn)，由與有公共點(diǎn)，欲求半徑最小，即為與外切時(shí)半徑最小，然后可求出半徑最小值及垂直直線(xiàn)的方程，即可求出此時(shí)圓心的坐標(biāo)，故而求出方程.

試題解析：（1）連

∵為切點(diǎn)， ，由勾股定理有

又由已知，故.即： .

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為： .

（2）由，得.

.

故當(dāng)時(shí)， ，即線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為.

（3）解法一：設(shè)的半徑為

∵與有公共點(diǎn)， 的半徑為1，

∴.即且.

而，

故當(dāng)時(shí)， .此時(shí)， ， .

得半徑取最小值時(shí)的方程為.

解法二：由題意可得的軌跡方程是，設(shè)為直線(xiàn)

與有公共點(diǎn)， 半徑最小時(shí)為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線(xiàn)的距離減去1，圓心為過(guò)原點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)與的交點(diǎn).

.

又，

解方程組，得，即.

∴所求圓方程為.