已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時(shí),有; 又,,且對(duì)任意恒成立. 數(shù)列滿足:.

(1) 求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;

(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3) 證明存在，使得對(duì)任意均成立

解析：(1) 由得： .因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090716/20090716095503003.gif' width=29>是正整數(shù)列,所以.于是是等比數(shù)列.  又,, 所以 .                              

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090716/20090716095503007.gif' width=88> ,所以,于是:,說明是以2為公比的等比數(shù)列. 所以

因?yàn)?IMG height=63 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090716/20090716095504012.gif' width=296>, 由題設(shè)知： ，解得：。

又因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090716/20090716095504015.gif' width=41>且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

設(shè)                ①

　　　　　　　�、�

當(dāng)時(shí)，①式減去②式, 得

于是,

這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．

(3) 證明：通過分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090716/20090716095504040.gif' width=264>

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對(duì)任意均成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x+3
3x
，數(shù)列an滿足a1=1，an+1=f(
1
an
)，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求a2n-1-a2n+1及Tn；
（3）令bn=
1
an-1an
(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜
m-2004
2
對(duì)一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3（ax+b）圖象過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），設(shè)an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a；
（Ⅲ）對(duì)每一個(gè)k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2，得到新數(shù)列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試問是否存在正整數(shù)m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+x及兩個(gè)正整數(shù)數(shù)列{an}，{bn}若a1=3，an+1=f'（an）對(duì)任意n∈N*恒成立，且b1=1，b2=λ，且當(dāng)n≥2時(shí)，有
b
2
n
-1＜bn+1bn-1＜
b
2
n
+1；又?jǐn)?shù)列{cn}滿足：2（λbn+cn-1）=2nλbn+an-1．
（1）求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）證明存在k∈N*，使得
Cn+1
cn
≤
Ck+1
ck
對(duì)任意n∈N*均成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時(shí),有; 又,,且對(duì)任意恒成立. 數(shù)列滿足:.

(1) 求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;

(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(3) 證明存在，使得對(duì)任意均成立．

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