Question

（理）已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²等于（　　）

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

  (2n-1)
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可求前幾項(xiàng)，求出首項(xiàng)和公比即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a_n²也為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式

解答：解：∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1
∴a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=2，q=2
所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比q為2，
則a_n=2^n-1
則a_n²=4^n-1，是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以，則a₁²+a₂²+…a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)
故答案為：

1

3

(4n-1)

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的求和問題，以及由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．