Question

已知函數(shù)f（x）是區(qū)間D⊆[0，+∞）上的增函數(shù)．若f（x）可表示為f（x）=f₁（x）+f₂（x），其中f₁（x）是D上的增函數(shù)，f₂（x）是D上的減函數(shù)，且函數(shù)f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數(shù)f（x）的區(qū)間D上的“偏增函數(shù)”
（1）試說明y=sinx+cosx是區(qū)間（0，

π

4

）上的“偏增函數(shù)”；
（2）記f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a為常數(shù)），是判斷f（x）=f₁（x）+f₂（x）是否是區(qū)間（0，1]上的“偏增函數(shù)”，若是，證明你的結(jié)論，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，利用輔助角公式化簡得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)y=sinx+cosx在區(qū)間（0，

π

4

）上是增函數(shù)，再由f₁（x）=sinx、f₂（x）=cosx在區(qū)間（0，

π

4

）上的單調(diào)性可得y=sinx+cosx是區(qū)間（0，

π

4

）上的“偏增函數(shù)”；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證出當(dāng)a=1時f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，不符合“偏增函數(shù)”的定義，由此即可得到對于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a為常數(shù)），函數(shù)f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區(qū)間（0，1]上的“偏增函數(shù)”．

解答：解：（1）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，
得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
設(shè)-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
取k=0，得區(qū)間[-

3π

4

，

π

4

]是y=sinx+cosx的一個遞增區(qū)間，
故y=sinx+cosx是區(qū)間（0，

π

4

）上是增函數(shù)
又∵f₁（x）=sinx在區(qū)間（0，

π

4

）上是增函數(shù)，f₂（x）=cosx在區(qū)間（0，

π

4

）上是減函數(shù)
∴在區(qū)間（0，

π

4

）上y=sinx+cosx符合“偏增函數(shù)”的定義，即y=sinx+cosx是區(qū)間（0，

π

4

）上的“偏增函數(shù)”；
（2）∵f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a為常數(shù)），y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

a

x

∴取a=1，得y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，1]上取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x 2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁-x₂＜0，由

1

x1x2

＞1得1-

1

x1x2

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
因此，y=x+

1

x

在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=1時，f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區(qū)間（0，1]上的“偏增函數(shù)”
綜上所述，對于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a為常數(shù)），函數(shù)f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是區(qū)間（0，1]上的“偏增函數(shù)”．

點評：本題給出“偏增函數(shù)”的定義，要求我們判斷兩個函數(shù)是否為其定義域內(nèi)的“偏增函數(shù)”．著重考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的定義與證明等知識，屬于中檔題．