Question

（2012•莆田模擬）設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①

an+an+2

2

≤an+1；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是與n無關(guān)的常數(shù)．現(xiàn)給出下列的四個(gè)無窮數(shù)列：（1）an=2n-n2；（2）an=3n-2n；（3）a_n=2n；（4）an=3-(

1

3

)n，寫出上述所有屬于集合W的序號(hào)

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根據(jù)集合W是否滿足①

an+an+2

2

≤an+1；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是與n無關(guān)的常數(shù)這兩個(gè)條件的集合，說明不是可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判定數(shù)列是不存在最大值，從而可判定選項(xiàng)．

解答：解：（1）由a_n=2n-n²，得a_n+a_n+2-2a_n+1=2n-n²-（n+2）²+2（n+2）+2（n+1）²-4（n+1）=-2≤0
所以數(shù)列{a_n}滿足

an+an+2

2

≤an+1．
又a_n=-（n-1）2+1，當(dāng)n=1時(shí)，a_n取得最大值1，即a_n≤1．
滿足集合W的兩個(gè)條件，從而可知（1）屬于集合W
（2）由an=3n-2n得an+1-an=3n+1-2(n+1)-3n+2n=2×3ⁿ-2＞0
∴無窮數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故不存在M滿足條件
則（2）不屬于集合W
（3）由a_n=2n得a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2＞0
∴無窮數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，故不存在M滿足條件
則（3）不屬于集合W
（4）由an=3-(

1

3

)n得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以數(shù)列{a_n}滿足

an+an+2

2

≤an+1．
當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，an=3-(

1

3

)n趨近于3，故a_n＜3
滿足集合W的兩個(gè)條件，從而可知（4）屬于集合W
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)考查了了分析問題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．