Question

如圖（1），邊長為2的正方形ABEF中，D，C分別為EF，AF上的點，且ED=CF，現(xiàn)沿DC把△CDF剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F(xiàn)，A三點重合于點A′．
（1）求證：BA′⊥CD；
（2）求四面體B-A′CD體積的最大值．

Answer 1

分析：（1）通過折疊前與折疊后直線與直線的垂直，證明BA′⊥平面A′CD，然后證明BA′⊥CD．
（2）設(shè)A′C=x（0＜x＜2），得到A′D=2-x．求出S_△A′CD=

1

2

x（2-x）．然后推出V_B-A′CD的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出體積最大值．

解答：（1）證明：折疊前，BE⊥EC，BA⊥AD，折疊后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，
又A′C∩A′D=A′，
所以BA′⊥平面A′CD，
因為CD?平面A′CD，
因此BA′⊥CD．（4分）
（2）解：設(shè)A′C=x（0＜x＜2），則A′D=2-x．因此S_△A′CD=

1

2

x（2-x）．（8分）
∴V_B-A′CD=

1

3

BA′•S_△A′CD=

1

3

×2×

1

2

x(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]．
所以當(dāng)x=1時，四面體B-A′CD體積的最大值為

1

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力與計算能力．