如圖，已知過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點A（-a，0）作直線1交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且
PQ
=2
QA
，則橢圓的離心率為
2
5
5
2
5
5
．
分析：利用等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運算即可得出點Q的坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可．
解答：解：∵△AOP是等腰三角形，A（-a，0）∴P（0，a）．
設(shè)Q（x0，y0），∵
PQ
=2
QA
，∴（x0，y0-a）=2（-a-x0，-y0）．
∴
x0=-2a-2x0
y0-a=-2y0
，解得
x0=-
2
3
a
y0=
1
3
a
．
代入橢圓方程得
4
9
a2
a2
+
1
9
a2
b2
=1，化為
b2
a2
=
1
5
．
∴e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
2
5
5
．
故答案為
2
5
5
．
點評：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運算、“代點法”等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

(1)求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆四川省高二12月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

 

 

(1)求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高二上學(xué)期12月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

．（本小題滿分12分）.

如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

 

 

 

(1) 求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高二12月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分12分）.

如圖，已知某橢圓的焦點是F1(－4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

 

(1)求該弦橢圓的方程；

(2)求弦AC中點的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.

 

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