Question

已知函數y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實常數．
（1）若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），求函數y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）在（1）的條件下，求函數y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若當0＜x≤1時，f（x）=3^x，試研究函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調函數？
若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先用配方法求出對稱軸，明確單調性，然后再求值域．
（2）在區(qū)間[n，n+1）上取變量，利用“f（x+1）=af（x）”逐步將變量轉化到區(qū)間[0，1]上，用f（x）=x（1-x）求解．
（3）由（2）知：f_n（x）=aⁿ•3^x-n，易知f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當a＞0時是增函數，由“函數y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調增函數”，有aⁿ⁺¹≥3aⁿ求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）═aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）當n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）═aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n；
顯然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z當a＞0時是增函數，
此時∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]，
若函數y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調增函數，則必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得：a≥3；
顯然當a＜0時，函數y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上不是單調函數；
所以a≥3．

點評：本題主要考查求相應區(qū)間上的解析式問題，這類題，要通過條件或函數的性質，將相應區(qū)間上的變量轉化到已知區(qū)間上去，利用已知區(qū)間上的解析式來求解．考查比較多的是用奇偶性和周期性來轉化求解．