Question

（本小題滿分12分）如圖1，已知四邊形ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2.

（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；  

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

Answer 1

解法一（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

       所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

       即OA⊥OB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1

       所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

       如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），

       B（0，3，0），C（0，1，）

圖3

       O1（0，0，）.----------2分

       從而-------3分

    所以AC⊥BO1. ----------5分

（II）解：因?yàn)?img width=188 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/312/333812.gif" >所以BO1⊥OC，-----6分

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.------8分

設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，

由    得. -------10分

設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>，

       所以cos，>=

       即二面角O—AC—O1的大小是------12分

解法二（I）證明 由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

     所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，   即OA⊥OB. ------2分

從而AO⊥平面OBCO1，

       OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.------3分

       因?yàn)?img width=126 height=36 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/329/333829.gif" >    ，

       所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

       由三垂線定理得AC⊥BO1.------5分

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.--------6分

       設(shè)OC∩O1B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

       內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.

       所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. -------8分

       由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，

       所以，

       從而，     -------10分

又O1E=OO1·sin30°=，所以 

即二面角O—AC—O1的大小是------12分