Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是⊙O的割線，過點G作AB的垂線，交AC的延長線于點E，交AD的延長線于點F，過G作⊙O的切線，切
點為H.求證：（1）C，D，F(xiàn)，E四點共圓；
（2）GH²=GE·GF.

Answer 1

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓.                                                     7分
（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，
∴GH²=GC·GD.
由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=，
即GC·GD=GE·GF.
∴CH²=GE·GF.        

（1）連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C，D，F(xiàn)，E四點共圓.                                                     7分
（2）∵GH為⊙O的切線，GCD為割線，
∴GH²=GC·GD.
由C，D，F(xiàn)，E四點共圓，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=，
即GC·GD=GE·GF.
∴CH²=GE·GF.                                                            14分