【題目】某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤數(shù)據(jù)，并分成了以下幾組（單位：萬元）：，，，，，.統(tǒng)計結(jié)果如下表所示（統(tǒng)計表中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）：

組別

頻數(shù)

5

20

30

30

10

5

（1）求這100天該大型超市日純利潤的平均數(shù)及中位數(shù)；

（2）該天型超市負責(zé)人決定利用分層抽樣的方法從前2組中隨機抽出5天數(shù)據(jù)分析日純利潤較少的原因，并從這5天數(shù)據(jù)中再抽出其中2天數(shù)據(jù)進行深入分析，求這2天的數(shù)據(jù)恰好來自不同組的概率；

（3）利用上述樣本分布估計總體分布，解決下面問題：該大型超市總經(jīng)理根據(jù)每天的純利潤給員工制定了兩種獎勵方案：

方案一：記日純利潤為萬元，當(dāng)時，獎勵每位員工40元/天；當(dāng)時，獎勵每位員工80元/天；當(dāng)時，獎勵每位員工120元/天；

方案二：日純利潤低于總體中位數(shù)時每名員工發(fā)放獎金50元/天，日純利潤不低于總體中位數(shù)時每名員工發(fā)放80元獎金/天；

“小張恰好為該大型超市的一位員工，則從統(tǒng)計角度看，小張選擇哪種獎勵方案更有利？

【答案】（1）平均數(shù)為6.85萬元，中位數(shù)為萬元；（2）；（3）方案一

【解析】

（1）直接計算平均值和中位數(shù)得到答案.

（2）記來自于的1天為，來自于的4天分別為，，，，列出所有情況，計算滿足條件的情況，得到概率.

（3）根據(jù)計算兩種方案的獎金的平均值，比較大小得到答案.

（1）這100天該大型超市日純利潤的平均數(shù)為：

（萬元）.

前2組頻率之和為，前3組頻率之和為，

故中位數(shù)位于第3組.

設(shè)中位數(shù)為，則有，解得，

即這100天該大型超市日純利潤的中位數(shù)為萬元.

（2）由分層抽樣知識可知，所抽取的5天數(shù)據(jù)中，來自于，這2組的天數(shù)分別為1，4.記來自于的1天為，來自于的4天分別為，，，，

則從中抽取2天的數(shù)據(jù)的所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，共10種，

其中這2天的數(shù)據(jù)來自不同組的有：，，，，共4種.

故所求的概率為.

（3）設(shè)選擇方案一時小張每天的獎金為元，

則的可能取值為40，80，120，其對應(yīng)的概率分別為0.25，0.6，0.15，

所以獲得獎金的平均數(shù)（元）.

設(shè)選擇方案二時小張每天的獎金為元，

則獲得獎金的平均數(shù)（元）.

因為，所以從統(tǒng)計角度看，小張選擇方案一更有利.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM與y軸交于點P．

（Ⅰ）若點P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右焦點為F，點Q在y軸上，且∠PFQ=90°，求證：AQ∥BM．

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【題目】已知正方體，過對角線作平面交棱于點E，交棱于點F，則：

①平面分正方體所得兩部分的體積相等；

②四邊形一定是平行四邊形；

③平面與平面不可能垂直；

④四邊形的面積有最大值.

其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）

A.①④B.②③C.①②④D.①②③④

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A.B.[0,1]

C.D.

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（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明：.

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【題目】某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤數(shù)據(jù)，并將日純利潤數(shù)據(jù)分成以下幾組（單位：萬元）：，，，，，，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

組別

頻數(shù)

5

20

30

30

10

5

以上述樣本分布的頻率估計總體分布的概率，解決下列問題：

（1）從該大型超市近幾年的銷售記錄中抽出5天，求其中日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)不少于2的概率；

（2）該超市經(jīng)理由頻數(shù)分布表可以認為，該大型超市每天的純利潤服從正態(tài)分布，其中，近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值）.

①試利用該正態(tài)分布，估計該大型超市1000天內(nèi)日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（精確到個位）；

②該大型超市負責(zé)人根據(jù)每日的純利潤給超市員工制定了兩種不同的獎勵方案：

方案一：直接發(fā)放獎金，日純利潤低于時每名員工發(fā)放獎金70元，日純利潤不低于時每名員工發(fā)放獎金90元；

方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中日純利潤不低于時每位員工均有兩次抽獎機會，日純利潤低于時每位員工只有一次抽獎機會；每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率分別為

金額

50元

100元

概率

小張恰好為該大型超市的一名員工，則從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇哪種獎勵方案更有利？

參考數(shù)據(jù)：若，則，.

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【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，決定盤活貧困村的各項經(jīng)濟發(fā)展要素，實施了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、就業(yè)“三業(yè)并舉”工程.在實施過程中，引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶因地制宜開展種植某經(jīng)濟作物.該類經(jīng)濟作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值來衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標值為，其質(zhì)量指標的等級劃分如下表1：

表1

質(zhì)量指標值

產(chǎn)品等級

優(yōu)秀品

良好品

合格品

不合格品

為了解該類經(jīng)濟作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益，當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個品種.并隨機抽取了甲、乙兩個品種的各件產(chǎn)品，測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指標值頻率分布直方圖（圖1和圖2）.

（1）若將頻率視為概率，從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機抽取件，記“抽出乙品種產(chǎn)品中至少件良好品或以上”為事件，求事件發(fā)生的概率；(結(jié)果保留小數(shù)點后位)(參考數(shù)值：，)

（2）若甲、乙兩個品種的銷售利潤率與質(zhì)量指標值滿足表2

表2

質(zhì)量指標值

銷售利潤率

其中，試分析，從長期來看，種植甲、乙哪個品種的平均利潤率較大？

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(1)求實數(shù)a的取值范圍；

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（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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