【題目】已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)記的前項和為,求證:;
(Ⅲ)對任意的正整數(shù),設(shè)求數(shù)列的前項和.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比,然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項和,然后利用作差法證明即可;
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式,然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值,據(jù)此進一步計算數(shù)列的前2n項和即可.
(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為q.
由,,可得d=1.
從而的通項公式為.
由,
又q≠0,可得,解得q=2,
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)可得,
故,,
從而,
所以.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時,,
當(dāng)n為偶數(shù)時,,
對任意的正整數(shù)n,有,
和 ①
由①得 ②
由①②得,
由于,
從而得:.
因此,.
所以,數(shù)列的前2n項和為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市對一項惠民市政工程滿意程度(分值:分)進行網(wǎng)上調(diào)查,有2000位市民參加了投票,經(jīng)統(tǒng)計,得到如下頻率分布直方圖(部分圖):
現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機抽取位市民召開座談會,其中滿意程度在的有5人.
(1)求的值,并填寫下表(2000位參與投票分數(shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計);
滿意程度(分數(shù)) | |||||
人數(shù) |
(2)求市民投票滿意程度的平均分(各分數(shù)段取中點值);
(3)若滿意程度在的5人中恰有2位為女性,座談會將從這5位市民中任選兩位發(fā)言,求男性甲或女性乙被選中的概率.
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【題目】CES是世界上最大的消費電子技術(shù)展,也是全球最大的消費技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會.2020CES消費電子展于2020年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費電子展上,我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機,驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負責(zé)接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作),再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機性能,若其中甲和乙至多有1人負責(zé)接待工作,則不同的安排方案共有__________種.
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【題目】已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,.設(shè)為線段上一點,,有下列條件:
①;②;③.
請從以上三個條件中任選兩個,求的大小和的面積.
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【題目】2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計了兩種抽獎方案.
方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.
方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.
(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;
(2)若某顧客獲得抽獎機會.
①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;
②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?
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【題目】已知數(shù)列的首項a1=1,前n項和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列.
(1)若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列,求λ的值;
(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且an>0,求數(shù)列的通項公式;
(3)對于給定的λ,是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列,且an≥0?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,.,交于點.將沿線段折起,使得點在平面內(nèi)的投影恰好是點,如圖.
(1)若點為棱上任意一點,證明:平面平面.
(2)在棱上是否存在一點,使得三棱錐的體積為?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,是直角梯形,,,且,是的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】設(shè)、是拋物線上的兩個不同的點,是坐標(biāo)原點,若直線與的斜率之積為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.以為直徑的圓面積的最小值為
C.直線過拋物線的焦點
D.點到直線的距離不大于
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