Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為﹣1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，P3（﹣1， ），P4（1， ）兩點(diǎn)必在橢圓C上，

又P4的橫坐標(biāo)為1，∴橢圓必不過(guò)P1（1，1），

∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三點(diǎn)在橢圓C上．

把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入橢圓C，得：

，解得a2=4，b2=1，

∴橢圓C的方程為 =1．

（2）

證明：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），

∵直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為﹣1，

∴ = = =﹣1，

解得m=2，此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿(mǎn)足．

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，

，x1x2= ，

則 = =

= = =﹣1，又b≠1，

∴b=﹣2k﹣1，此時(shí)△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直線(xiàn)l的方程為y=kx﹣2k﹣1，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣1，

∴l(xiāng)過(guò)定點(diǎn)（2，﹣1）．

【解析】（1.）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三點(diǎn)在橢圓C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入橢圓C，求出a2=4，b2=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2.）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，（b≠1），聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線(xiàn)方程，結(jié)合已知條件能證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（2，﹣1）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了斜截式方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線(xiàn)的斜截式方程：已知直線(xiàn)的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為則：；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．