設直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：的夾角為定值．

【答案】分析：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F(xiàn)（1，0），設M（x1，y1），N（x2，y2），，由此能求出MN所在的直線方程．
（II）由=，由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍．
（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，由，知，由此能求出的夾角為定值90°．
解答：解：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F(xiàn)（1，0），設M（x1，y1），N（x2，y2），

由②得y12=λ2y22，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x1=λ2x2．③
聯(lián)立①、③解得．
（II）由（I）及=，
當，
令
（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，
由于，∴，
∵，∴，
∴的夾角為定值90°．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y=x2+4x+
7
2
，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-
1
2
，求點M的坐標（x0，y0）；
（2）設P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設
MF
=λ
FN
(λ＞0)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：
EF
與
EM
-λ
EN
的夾角為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設直線AB上一點M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點在y軸上；
（2）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線C：y=x2，F(xiàn)為焦點，l為準線，準線與y軸交點為H
（1）求|FH|；
（2）過點H的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線AF與拋物線交于點D．
①設A，B，D三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，計算：x1•x2及x1•x3的值；
②若直線BF與拋物線交于點E，求證：D，E，H三點共線．

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