a為何值時，對區(qū)間[0，3]的任意實數(shù)x，不等式log(2a2-1)(2x+2)＜-1恒成立．
分析：由0≤x≤3⇒2≤2+2x≤8，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，0＜2a2-1＜1，且2x+2＞
1
2a2-1
在x∈[0，3]時恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=
1
2x+2
，利用其單調(diào)性可求得h（x）max=h（0）=
1
2
，從而可求得a的取值范圍．
解答：解：∵0≤x≤3，
∴2≤2+2x≤8，
又log(2a2-1)(2x+2)＜-1＜0，
∴0＜2a2-1＜1，
∴
1
2
＜a2＜1①
∵又當x∈[0，3]時，log(2a2-1)(2x+2)＜-1=log(2a2-1)
1
2a2-1
恒成立，
由對數(shù)函數(shù)y=logtx（0＜t＜1）單調(diào)遞減的性質(zhì)得：
2x+2＞
1
2a2-1
在x∈[0，3]時恒成立
∴2a2-1＞
1
2x+2
（0≤x≤3）恒成立，
令h（x）=
1
2x+2
，顯然h（x）=
1
2x+2
在區(qū)間[0，3]上單調(diào)遞減，
∴h（x）max=h（0）=
1
2
，
∴2a2-1＞
1
2
②
由①②得
3
4
＜a2＜1，
解得-1＜a＜-
3
2
或
3
2
＜a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍為（-1，-
3
2
）∪（
3
2
，1）．
點評：本題考查對數(shù)不等式的解法，著重考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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