【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率e= ,且點P(2,1)在橢圓C上. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若點A、B都在橢圓C上,且AB中點M在線段OP(不包括端點)上.求△AOB面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由題意得: ,解得 , ∴橢圓C的方程為 ;
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0),直線AB的斜率為k,
則 ,兩式作差可得 ,得 ,
又直線OP: ,M在線段OP上,
∴ ,解得k=﹣1.
設直線AB的方程為y=﹣x+m,m∈(0,3),
聯(lián)立 ,得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0,
△=16m2﹣12(2m2﹣6)=72﹣8m2>0,得﹣3<m<3.
.
∴|AB|= ,原點到直線的距離d= ,
∴ .
當且僅當 ∈(0,3)時,等號成立.
∴△OAB面積的最大值
【解析】(Ⅰ)由題意列出關于a,b,c的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)利用“點差法”求出A,B所在直線的斜率,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,由弦長公式求得弦長,再由點到直線的距離公式求出原點到直線AB的距離,代入三角形面積公式,利用基本不等式求得最值.
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點,需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:才能正確解答此題.
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【題目】已知a,b,c分別為銳角△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (Ⅰ)求∠A的大小;
(Ⅱ)若f(x)= sin cos +cos2 ,求f(B)的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,角A、B均為銳角,則cosA>sinB是△ABC為鈍角三角形的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若函數(shù)的圖象與直線相切,求的值;
(2)求在區(qū)間上的最小值;
(3)若函數(shù)有兩個不同的零點, ,試求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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【題目】已知橢圓的方程為,則其長軸長為__________;若為的右焦點, 為的上頂點, 為上位于第一象限內(nèi)的動點,則四邊形的面積的最大值為__________.
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的一年收益與投資額成正比,其關系如圖(1);投資股票等風險型產(chǎn)品的一年收益與投資額的算術平方根成正比,其關系如圖(2).(注:收益與投資額單位:萬元)
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的一年收益與投資額的函數(shù)關系;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使一年的投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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