Question

已知△ABC中，A（0，1），B（2，4）C（6，1），P為平面上任意一點(diǎn)，M、N分別使

PM

=

1

2

(

PA

+

PB

)，

PN

=

1

3

(

PA

+

PB

+

PC

)，給出下列相關(guān)命題：①

MN

∥

BC

；②直線MN的方程為3x+10y-28=0；③直線MN必過△ABC的外心；④向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射線必過N點(diǎn)，上述四個命題中正確的是

②

．（將正確的選項全填上）．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題設(shè)條件求出M（1，

5

2

）．N（

8

3

，2）．由此能夠得到

MN

與

BC

不平行；直線MN的方程為3x+10y-28=0；直線MN不過△ABC的外心；向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射線不一定過N點(diǎn)．

解答：解：設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴

PM

=(x1-x，y1-y)，

PA

=(-x，1-y)，

PB

=(2-x，4-y)，

PC

=(6-x，1-y)，

PN

=(x2-x，y2-y)，
∵

PM

=

1

2

(

PA

+

PB

)，
∴（x₁-x，y₁-y）=

1

2

(2-2x，5-2y)=（1-x，

5

2

-y），
∴M（1，

5

2

）．
∵

PN

=

1

3

(

PA

+

PB

+

PC

)，
∴（x2-x，y2-y ）=

1

3

（8-3x，6-3y）=（

8

3

-x，2-y），
∴N（

8

3

，2）．
∴

MN

=(

5

3

，-

1

2

)，
∵

BC

=(4，-3)，

5

3

×(-3)-(-

1

2

)×4=-3≠0，
∴

MN

與

BC

不平行，
故①不正確；
∵M(jìn)（1，

5

2

），N（

8

3

，2），
∴直線MN的方程為

y- 5 2

x-1

=

2- 5 2

8 3 -1

，
整理，得3x+10y-28=0，
故②正確；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴kAB=

3

2

，線段AB的中點(diǎn)（1，

5

2

），k_AC=0，線段AC的中點(diǎn)（3，1），
∴線段AB的中垂線為：y-

5

2

=-

2

3

(x-1)，即4x+6y-19=0，
線段AC的中垂線為x=3，
解方程組

4x+6y-19=0 x=3

，得△ABC的外心為（3，

7

6

），
把（3，

7

6

）代入3x+10y-28=0，不成立，
∴直線MN不過△ABC的外心，故③不正確；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（

AB

+

AC

）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∴向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射線不一定過N點(diǎn)，故④不正確．
故答案為：②．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．