Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，①(

A1A

+

A1D1

+

A1B1

)2=3(

A1B1

)2；②

A1C

•(

A1B1

-

A1A

)=0；③向量

AD1

與向量

A1B

的夾角是60°；④正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為|

AB

•

AA1

•

AD

|．其中正確的命題是

①②

（寫出所有正確命題編號）

Answer 1

分析：本題考查的是用向量的知識(shí)和方法研究正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與體積．用到向量的加法、減法、夾角及向量的數(shù)量積，研究了正方體中的線線平行、垂直，異面直線的夾角及正方體的對角線的計(jì)算、體積的計(jì)算．

解答：解：①由向量的加法得到：

A1A

+

A1D1

+

A1B1

=

A1C

，∵A1C2=3A1B12，∴(

A1C

)2=3(

A1B1)

2，所以①正確；
②∵

A1B1

-

A1A

=

AB1

，AB₁⊥A₁C，∴

A1C

•

AB1

=0，故②正確；
③∵△ACD₁是等邊三角形，∴∠AD1C=60°，又A₁B∥D₁C，∴異面直線AD₁與A₁B所成的夾角為60°，但是向量

AD1

與向量

A1B

的夾角是120°，
故③不正確；
④∵AB⊥AA₁，∴

AB

•

AA1

=0，故|

AB

•

AA1

•

AD

|=0，因此④不正確．
故答案為①②．

點(diǎn)評：本題把正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行考查．熟練掌握正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)方法是做好本題的關(guān)鍵．