Question

已知圓C經過坐標原點，且與直線x-y+2=0相切，切點為A（2，4）．
（1）求圓C的方程；
（2）若斜率為-1的直線l與圓C相交于不同的兩點M，N，求的取值范圍..

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：求出直線AC的方程，再求出線段OA的垂直平分線方程，聯立方程組求出圓心C的坐標，可得圓的半徑，
從而寫出C的方程．
解法二：設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據點A和點O在圓上，圓心到切線的距離等于半徑建立方程組，
求出a、b、r的值 從而求出C的方程．
（2）解：設直線l的方程為y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線方程代入圓的方程利用根與系數的關系求出
x₁+x₂和x₁•x₂的值，代入  的解析式化簡為（m-6）²．再根據圓心到直線的距離小于半徑求出m的范圍，即可得到（m-6）²的距離．
解答：（1）解法一：圓的圓心為C，依題意得直線AC的斜率K_AC=-1，
∴直線AC的方程為y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直線OA的斜率K_OA==2，∴線段OA的垂直平分線為y-2=（x-1），即x+2y-5=0．
解方程組 得圓心C的坐標為（7，-1）．
∴圓C的半徑為r=|AC|==5，
∴圓C的方程為（x-7）²+（y+1）²=50．
解法二：設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
依題意得 ，解得   ，∴圓的方程為：（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）解：設直線l的方程為y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由  消去y得 2x²-（2m+16）x+m²+2m=0．
∴x₁+x₂=m+8，．
∴=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-4）（y₂-4）
=（x₁-2）（x₂-2）+（-x₁+m-4）（-x₂+m-4）=2x₁•x₂-（m-2）（x₁+x₂）+（m-4）²+4
=m²+2-（m-2）（m+8）+（m-4）²+4=m²-12m+36=（m-6）²．
∵直線l與圓C相交于不同兩點，∴＜5，解得-4＜m＜16．
∴0≤（m-6）²＜100，
∴的取值范圍是[0，100）．
點評：本題主要考查兩個向量數量積公式的應用，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．