Question

已知各項為實數(shù)的數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a₁=2，a₅+a₇=8（a₂+a₄）．數(shù)列{b_n}滿足：對任意正整數(shù)n，有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2．
（1）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{a_n}的任意相鄰兩項a_k與a_k+1之間插入k個（-1）^kb_k（k∈N^*）后，得到一個新的數(shù)列{c_n}．求數(shù)列{c_n}的前2012項之和．

Answer 1

（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₅+a₇=8（a₂+a₄），
得a1q4(1+q2)=8a₁q（1+q²），
又∵a₁=2，q≠0，1+q²＞0，∴q=2，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，n∈N^*，
由題意有a₁b₁=（1-1）•2¹⁺¹+2=2，∴b₁=1，
當n≥2時，a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹-[（n-2）•2ⁿ+2]=n•2ⁿ，
∴b_n=n，．
故數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n，n∈N^*．
（2）設數(shù)列{a_n}的第k項是數(shù)列{c_n}的第m_k項，即a_k=cmk，k∈N^*，
當k≥2時，m_k=k+[1+2+…+（k-1）]=

k(k+1)

2

，
m₆₂=

62×63

2

=1953，m₆₃=

63×64

2

=2016，
設S_n表示數(shù)列{c_n}的前n項之和，
則S₂₀₁₆=（a₁+a₂+…+a₆₃）+[（-1）¹•b₁+（-1）²•2b₂+…+（-1）⁶²•62•b₆₂]，
其中a₁+a₂+…+a₆₃=

2(1-263)

1-2

=2⁶⁴-2，
∵（-1）ⁿ•nb_n=（-1）ⁿ•n²，
∴[（-1）¹•b₁+（-1）²•2b₂+…+（-1）⁶²•62•b₆₂]=（-1）¹•1²+（-1）²•2²+…+（-1）⁶²•62²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（62²-61²）=（4×1-1）+（4×2-1）+（4×3-1）+…+（4×31-1）
=4×

1+31

2

×31-31=1953，
∴S₂₀₁₆=（2⁶⁴-2）+1953=2⁶⁴+1951，
從而S₂₀₁₂=S₂₀₁₆-（C₂₀₁₃+C₂₀₁₄+C₂₀₁₅+C₂₀₁₆）=2⁶⁴+1951-3（-1）⁶²×b₆₂-a₆₃
=2⁶⁴+1951-3×62-2⁶³
=2⁶³+1765．
所以數(shù)列{c_n}的前2012項之和為2⁶³+1765．