Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x|-2，則f（x）是    （填“奇”或“偶”）函數(shù)，不等式x[f（x）+f（-x）]＞0的解集是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，因為函數(shù)的解析式中含有絕對值所以分別討論x≥0與x＜0兩種情況，進而得到答案．
解答：解：因為函數(shù)f（x）=2^|x|-2，
所以f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，
因為函數(shù)f（x）=2^|x|-2，
所以當x≥0時不等式xf（x）＞0等價于2^|x|-2＞0，所以原不等式的解集為{x|x＞1}，
當x＜0時不等式xf（x）＞0等價于2^|x|-2＜0，所以原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}．
故答案為偶，{x|x＞1或-1＜x＜0}．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性的判斷，以及掌握含絕對值不等式的解法．