Question

已知直線l：mx-y+1-m=0與圓C：x²+（y-1）²=5交于A、B兩點(diǎn)；
（Ⅰ）若|AB|=

17

，求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）圓C上是否存在一點(diǎn)P使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|AB|=

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，圓心到直線的距離，半徑滿足勾股定理，求出m的值，即可求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系，數(shù)量積為0，直接求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）通過由△ABP是等邊三角形，其外接圓與內(nèi)切圓的圓心相同，通過外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑r等于圓心到直線AB的距離，推出r=

R

2

，方程無解，則不存在否則存在．

解答：解：（Ⅰ）圓心C（0，1）到直線的距離d=

|m|

1+m2

，
所以|AB|=2

R2-d2

=2

5- m2 1+m2

=

17

，解得m=±

3

，
所以，傾角α=

π

3

或

2π

3

；…（4分）
（Ⅱ）直線l過定點(diǎn)N（1，1），設(shè)動點(diǎn)M（x，y），則

CM

⊥

NM

，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化簡得(x-

1

2

)2+(y-1)2=

1

4

；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，則由△ABP是等邊三角形知，
其外接圓與內(nèi)切圓的圓心均C（0，1），外接圓半徑R=

5

，
內(nèi)切圓半徑r等于圓心（0，1）到直線AB的距離d=

|m|

1+m2

，
又由等邊三角形的性質(zhì)得r=

R

2

，所以有

|m|

1+m2

=

5

2

，⇒

m2

1+m2

=

5

4

，m無解，故不存在這樣的點(diǎn)P．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程分求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線的傾斜角的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．