已知A、B、C是橢圓W:上的三個點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。
(I) .
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,四邊形OABC不可能是菱形.
【解析】
試題分析:
思路分析:(I)根據(jù)四邊形OABC為菱形, AC與OB相互垂直平分. 注意確定.
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為.
由消去應(yīng)用韋達(dá)定理確定AC的中點(diǎn)為M(,).
得到直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不垂直.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,四邊形OABC不可能是菱形.
解:(I)橢圓W:的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設(shè)A(1,),代入橢圓方程得,即. 所以菱形OABC的面積是.
(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因為點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為.
由消去并整理得.
設(shè)A,C,則,.
所以AC的中點(diǎn)為M(,).
因為M為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為.
因為,所以AC與OB不垂直. 所以O(shè)ABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,四邊形OABC不可能是菱形.
考點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,菱形的性質(zhì)。
點(diǎn)評:中檔題,涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,應(yīng)用韋達(dá)定理,簡化解題過程。
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