精英家教網(wǎng)已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時(shí)
1
a2
+
1
b2
的值．
分析：（Ⅰ）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，知2a=4，2c=2
3
，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：PRQS為菱形，原點(diǎn)O到各邊距離相等．當(dāng)P在y軸上時(shí)，R在x軸上，PR方程為
x
a
+
y
b
=1，
1
a2
+
1
b2
=1．當(dāng)P在x軸上時(shí)，R在y軸上，PR方程為
x
a
+
y
b
=1，
1
a2
+
1
b2
=1．當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)PQ斜率為k，P（x1，kx1）、R(x2，-
1
k
x2)，P在橢圓上，
1
x
2
1
=
1
a2
+
k2
b2
，R在橢圓上，
1
x
2
1
=
1
a2
+
1
k2b2
．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得
1
a2
+
1
b2
=1．故當(dāng)d=1時(shí)，有
1
a2
+
1
b2
=1．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，
∴2a=4，a=2，2c=2
3
，c=
3
，
∴橢圓的方程：
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：PRQS為菱形，原點(diǎn)O到各邊距離相等
（1）當(dāng)P在y軸上時(shí)，易知R在x軸上，此時(shí)PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1?
1
a2
+
1
b2
=1．
（2）當(dāng)P在x軸上時(shí)，易知R在y軸上，此時(shí)PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1?
1
a2
+
1
b2
=1．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)PQ斜率為k，P（x1，kx1）、R(x2，-
1
k
x2)
P在橢圓上，
1
x
2
1
=
1
a2
+
k2
b2
①；
R在橢圓上，
1
x
2
1
=
1
a2
+
1
k2b2
②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=(
x
2
1
+k2
x
2
1
)(
x
2
2
+
x
2
2
k2
)
整理得　
k2
x
2
2
+
1
x
2
1
=1+k2．再將①②代入，得
1
a2
+
1
b2
=1
綜上當(dāng)d=1時(shí)，有
1
a2
+
1
b2
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P．
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（1）若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對(duì)于之前小題的研究結(jié)論，我們可以將其類(lèi)比到橢圓的情形．如圖2，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交于點(diǎn)P．試提出一個(gè)由類(lèi)比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k1=1時(shí)，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點(diǎn)P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為K的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)K=1時(shí)，求S△AOB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1F2分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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