Question

定義：對于函數(shù)，若存在非零常數(shù)，使函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù)，其中稱為函數(shù)的廣義周期，稱為周距．
（1）證明函數(shù)是以2為廣義周期的廣義周期函數(shù)，并求出它的相應周距的值；
（2）試求一個函數(shù)，使（為常數(shù)，）為廣義周期函數(shù)，并求出它的一個廣義周期和周距；
（3）設函數(shù)是周期的周期函數(shù)，當函數(shù)在上的值域為時，求在上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）2；（2），，；（3）．

試題分析：本題是一個新定義概念問題，解決問題的關鍵是按照新定義把問題轉化為我們熟悉的問題，（1）就是找到使為常數(shù)，考慮到，因此取，則有，符合題設，即得；（2）在（1）中求解時，可以想到一次函數(shù)就是廣義周期函數(shù)，因此取，再考慮到正弦函數(shù)的周期性，取，代入新定義式子計算可得；（3）首先，函數(shù)應該是廣義周期函數(shù)，由新定義可求得一個廣義周期是，周距，由于，可見在區(qū)間上取得最小值，在上取得最大值，而當時，由上面結論可得，最小值為，當時，，從而最大值為．
試題解析：（1），
，（非零常數(shù)）
所以函數(shù)是廣義周期函數(shù)，它的周距為2．  （4分）
（2）設，則


（非零常數(shù)） 所以是廣義周期函數(shù)，且．      （ 9分）
（3），
所以是廣義周期函數(shù)，且 ．             （10分）
設滿足，
由得：
，
又知道在區(qū)間上的最小值是在上獲得的，而，所以在上的最小值為．       （ 13分）
由得得：
，
又知道在區(qū)間上的最大值是在上獲得的，
而，所以在上的最大值為23．        （16分）