Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中點，
（1）求證：AG⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，結合面面垂直的性質，我們易得到BC⊥平面ABEF，進而由線面垂直的定義得到BC⊥AG，由線面垂直的判定定理，即可得到結論；
（2）作GM⊥AB于M，則M為AB中點，M為G的射影，作GH⊥AC于H，連接MH，從而可知所求角∠GHM，進而可求．

解答：（1）證明：∵G是矩形ABEF的邊EF的中點
∴AG=BG=

4+4

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC；
（2）解：作GM⊥AB于M，則M為AB中點，M為G的射影
作GH⊥AC于H，連接MH，則所求角∠GHM
∵GM=a，MH=

1

4

BD=

2

2

a
∴GH=

6

2

a
∴sin∠GHM=

GM

GH

=

6

3

．

點評：本題以面面垂直為載體，考查面面垂直的判定與性質，考查面面角，關鍵是正確運用定理，尋找線面垂直．