Question

如圖，在長(zhǎng)方體AC₁中，，點(diǎn)E、F分別是面A₁C₁、面BC₁的中心．
（1）求異面直線(xiàn)AF和BE所成的角；
（2）求直線(xiàn)AF和平面BEC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的長(zhǎng)方體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到夾角．
（2）根據(jù)上一問(wèn)做出的坐標(biāo)系和點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，得到一個(gè)法向量．
解答：解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)DA、DC、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則：A（2，0，0），F(xiàn)（1，2，）
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）
∴，
∴=1-2+1=0
所以AF和BE所成的角為90°，
（2）設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量為，又，，
則：
∴x=0，令z=1，則：∴
∴
設(shè)直線(xiàn)AF和平面BEC所成角為θ則：
∴
即直線(xiàn)AF和平面BEC所成角的余弦值為
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條異面直線(xiàn)所成的角和線(xiàn)面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)變成了數(shù)字的運(yùn)算，從而降低了題目的難度．