Question

（2013•廣州一模）設函數f（x）的定義域為D．如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C為常數）成立，則稱函數f（x）在D上的均值為C，給出下列四個函數
①y=x³；
②y=(

1

2

)x；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
則滿足在其定義域上均值為1的函數的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據在其定義域上均值為1的函數的定義，逐一對四個函數列出方程，解出y關于x的表達式，其中①③④在其定義域內有解，②在其定義域內無解，從而得出正確答案．

解答：解：①對于函數y=x³，定義域為R，設x∈R，由

x3+y3

2

=1，得y³=2-x³，所以y=

3	2-x3

∈R，所以函數y=x³是定義域上均值為1的函數；
②對于y=(

1

2

)x，定義域為R，設x∈R，由

( 1 2 )x+( 1 2 )y

2

=1，得(

1

2

)y=2-(

1

2

)x，當x=-2時，2-(

1

2

)-2=-2，不存在實數y的值，使(

1

2

)y=-2，所以該函數不是定義域上均值為1的函數；
③對于函數y=lnx，定義域是（0，+∞），設x∈（0，+∞），由

lnx+lny

2

=1，得lny=2-lnx，則
y=e^2-lnx∈R，所以該函數是定義域上均值為1的函數；
④對于函數y=2sinx+1，定義域是R，設x∈R，由

2sinx+1+2siny+1

2

=1，得siny=-sinx，因為-sinx∈[-1，1]，
所以存在實數y，使得siny=-sinx，所以函數y=2sinx+1是定義域上均值為1的函數．
所以滿足在其定義域上均值為1的函數的個數是3．
故選C．

點評：本題著重考查了函數的值域，屬于基礎題．熟練掌握各基本初等函數的定義域和值域是解決本題的關鍵．