Question

已知函數(shù)（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)y=g（x）與f（x）=xlnx（0＜x＜2）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）由原函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對函數(shù)的定義域進(jìn)行分段討論后，即可得到答案．
（2）已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要證明f（x）≥g（x），只須證明f（x）-g（x）≥0，令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，最后綜合即可得到答案．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當(dāng)f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，在x=

1

e

處取得極小值，
且極小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）由已知y=g（x）=-f（2-x）=（x-2）ln（2-x）（0＜x＜2），要證明f（x）≥g（x），
只須證明f（x）-g（x）≥0，
令h（x）=f（x）-g（x）=xlnx+（2-a）ln（2-x），則g′（x）=ln

x

2-x

，
令g′（x）=0，得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h'（x）＞0，
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h（x）≥h（1）=0，
∴f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．