Question

設A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點，
（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為y=k（x-1），
代入，整理得， ①
設是方程①的兩個不同的根，
∴， ②
且，
由N（1，3）是線段AB的中點，得，
∴，解得k=-1，
代入②得，λ＞12，
即λ的取值范圍是（12，+∞），
于是，直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0。
（Ⅱ）∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-3=x-1，即x-y+2=0，
代入橢圓方程，整理得，
又設，CD的中點為是方程③的兩根，
∴，即，
于是由弦長公式可得， ④
將直線AB的方程x+y-4=0，
代入橢圓方程得， ⑤
同理可得， ⑥
∵當λ＞12時，，
∴|AB|＜|CD|，
假設存在λ＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心，
點M到直線AB的距離為， ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得，
，
故當λ＞12時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上。