Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0且a_na_n+1-2a_n+1+1=0（n∈N^*）．
（I）證明：數(shù)列{

1

1-an

}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列b_n=（a_n-1）²，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：

1

2

＜Sn＜2．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)遞推關(guān)系式a_na_n+1-2a_n+1+1=0，整理變形可得

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{

1

1-an

}是等差數(shù)列，故可求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出a_n．
（II）根據(jù)（I）知b_n，然后利用放縮法和裂項(xiàng)法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，即可證得結(jié)論．

解答：解：（I）由a_na_n+1-2a_n+1+1=0得1-a_n+1-a_n+1（1-a_n）=0，（n∈N^*）．
得，

1

1-an+1

-

1

1-an

=1
∴{

1

1-an

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

1-an

=n，即 an=1-

1

n

；
（II）由（I）題意可知：b_n=

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n＞1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

≥

1

2

又b_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
S_n＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
即

1

2

＜S_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比差數(shù)列的定義、裂項(xiàng)法求和問題，和不等式與數(shù)列的綜合，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．