Question

已知函數f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)-1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）求函數f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦函數的周期公式T=

2π

W

，可求函數f（x）的最小正周期T；
（2）令-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

4

≤

1

2

π+2kπ，k∈Z可求函數的單調遞增區(qū)間；
（3）根據正弦函數的性質可知，-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，從而可求函數的最值．

解答：解：（1）由周期公式T=

2π

W

，得T=

2π

2

=π，∴函數f（x）的最小正周期為π；
（2）令-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

4

≤

1

2

π+2kπ，k∈Z，
∴kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

1

8

π，k∈Z
∴函數的單調遞增區(qū)間為[kπ-

3

8

π，kπ+

1

8

π]（k∈Z）．
（3）根據正弦函數的性質可知，-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-2

2

≤

2

sin(2x+

π

4

)≤2

2

，
∴-2

2

-1≤

2

sin(2x+

π

4

)-1≤2

2

-1，
∴函數的最大值為2

2

-1，最小值為-2

2

-1，

點評：本題考查正弦函數的單調性及周期性與最值，著重考查正弦函數的圖象與性質的靈活應用，屬于中檔題．