Question

甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局．
（I）求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ表示從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)榍?局中，甲、乙各勝1局，所以再賽2局結(jié)束這次比賽包括后2局甲都勝或乙都勝，然后利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解；
（Ⅱ）從第3局開(kāi)始到比賽結(jié)束最少進(jìn)行2局，最多進(jìn)行3局，（Ⅰ）中求出了進(jìn)行2局比賽結(jié)束的概率，利用對(duì)立事件的概率求出進(jìn)行3局比賽結(jié)束的概率，列出頻率分布表后直接利用期望公式求期望．

解答：解：記A_i表示事件第i局甲獲勝，i=3，4，5，B_j表示事件第j局乙獲勝，j=3，4，5．
（I）設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A，則A=A₃A₄+B₃B₄，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，
故A=A₃A₄+B₃B₄，
故P（A）=P（A₃A₄+B₃B₄）=P（A₃A₄）+P（B₃B₄）
=P（A₃）P（A₄）+P（B₃）P（B₄）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52；
（II）ξ的可能取值為2，3．
由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P（ξ=2）=P（A₃A₄+B₃B₄）

=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

P（ξ=3）=1-P（ξ=2）=1-0.52=0.48．
ξ的分布列為

ξ	2	3
P	0.52	0.48

Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=2×0.52+3×0.48=2.48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求法，關(guān)鍵是明確分布列中的概率和等于1，是中檔題．