Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且滿足．
（1）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-MNC的體積．

Answer 1

解：（1）如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則P（λ，0，1），平面ABC的一個法向量為=（0，0，1）
∴sinθ==
∴當λ=時，（sinθ）_max=，此時角θ最大為arcsin；
（2）平面B₁BCC₁的法向量=（），
∴點P到平面B₁BCC₁的距離d==
∵S_△CMN==
∴V_P-CMN==．
分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，求出直線PN與平面ABC所成的角，即可求得結(jié)論．
（2）求出點P到平面B₁BCC₁的距離，S_△CMN，即可求得三棱錐P-MNC的體積．
點評：利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關(guān)鍵在于用坐標表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式