Question

如圖，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連接PB、PC．
（1）求證：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BC⊥PB，一般先證明線面垂直即找到一個(gè)平面包含其中一條直線而另一條直線與此平面垂直，即可證明線線垂直．
（2）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF．∵RA=AD=1，∴AF⊥RC．根據(jù)題意可證明RC⊥平面PAF，因?yàn)镻F?平面PAF，所以RC⊥PF．所以∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．再結(jié)合解三角形的一個(gè)知識(shí)求出答案即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，
∴AD∥BC，AD=

1

2

BC．
∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°．
∴PA⊥AD．
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB．
（2）取RD的中點(diǎn)F，連接AF、PF．
∵RA=AD=1，
∴AF⊥RC．
∵AP⊥AR，AP⊥AD，
∴AP⊥平面RBC．
∵RC?平面RBC，
∴RC⊥AP
∵AF∩AP=A，
∴RC⊥平面PAF．
∵PF?平面PAF，
∴RC⊥PF．
∴∠AFP是二面角A-CD-P的平面角．
在Rt△RAD中，AF=

1

2

RD=

1

2

RA2+AD2

=

2

2

，
在Rt△PAF中，PF=

PA2+AF2

=

6

2

，cos∠AFP=

AF

PF

=

2 2

6 2

=

3

3

．
∴二面角A-CD-P的平面角的余弦值是

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練進(jìn)行線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，主要考查學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力．